数列极限的定义怎么理解？
你是不是也曾在数学课上听到老师讲：“当n趋近于无穷大时，aₙ趋近于A，我们就说数列{aₙ}的极限是A。”然后一脸懵？别急，这不是你的问题，而是很多同学对“极限”这个概念太抽象了。
举个真实生活中的例子：假设你在健身房跑步，每跑一圈，你离终点越来越近——比如第1圈还差100米，第2圈差50米，第3圈差25米……你会发现，无论你跑多少圈，虽然永远没到终点（因为每次只走一半），但你离终点的距离越来越小。这就像一个数列在“逼近”某个值——这就是极限的本质：不是等于，而是无限接近。
那数学上怎么描述这种“无限接近”呢？这就是εδ语言（其实这里用的是εN）的登场时刻！
我们说数列{aₙ}的极限是A，意思是：不管你多么“挑剔”，只要你说“我要它比0.0001更靠近A”，我总能找到一个正整数N，使得当n > N时，所有的aₙ都满足 |aₙ A| < 0.0001。
听起来像绕口令？来个具体案例：
设 aₙ = 1/n，我们知道它的极限是0。现在你挑一个很小的数，比如 ε = 0.01（也就是你要求误差小于1%）。我告诉你：只要你取N = 100，那么当n > 100时，比如n=101、102……都有 |1/n 0| = 1/n < 0.01。完美达标！
你看，极限不是“等于”，而是“控制误差”。你越想苛刻（ε越小），我就越要早一点开始“稳定”（N越大），但只要我能做到，就说明这个数列真的在向A靠拢。
所以，理解数列极限的关键不是死记公式，而是建立一种“动态逼近”的思维：数列不是停在某点，而是在“努力靠近”某个目标，哪怕永远不碰它，只要差距可以任意小，就够了。
下次看到极限题，不妨想想那个跑步的人——他永远没到终点，但你知道他离得越来越近。这才是极限最温柔又最理性的浪漫。
