你有没有遇到过这样的数列：递推公式看着简单，比如 $ a_{n+1} = \frac{2a_n + 3}{a_n + 1} $，但求通项却像在迷宫里打转？别急，今天带你解锁一个超实用的“数学魔法”——不动点法！
Q：什么是不动点法？
不动点法，说白了就是找一个“不被改变”的值——也就是当 $ a_{n+1} = a_n $ 时的那个数。这个值就像数列的“锚点”，能帮你把复杂递推变成简单变换。
Q：为什么这个方法有效？
因为很多递推式本质上是分式线性变换（形如 $ a_{n+1} = \frac{pa_n + q}{ra_n + s} $），而这类变换在不动点附近有很好的结构。一旦找到不动点 $ x_0 $，我们就可以设新数列 $ b_n = \frac{1}{a_n x_0} $，让原数列变成等差或等比——这不就迎刃而解了吗？
Q：举个真实案例吧！
假设数列满足：$ a_1 = 1 $，且 $ a_{n+1} = \frac{2a_n + 3}{a_n + 1} $。我们先求不动点：
令 $ x = \frac{2x + 3}{x + 1} $，解得 $ x^2 + x = 2x + 3 \Rightarrow x^2 x 3 = 0 $，根为 $ x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2} $。取正根 $ x_0 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} $。
接下来设 $ b_n = \frac{1}{a_n x_0} $，你会发现 $ b_{n+1} = b_n + c $（常数）！这就是等差数列！于是通项一目了然。
Q：我怎么知道该不该用不动点法？
如果你看到的递推是分式型、且分子分母都是一次函数，那就大胆试！它特别适合小红书/朋友圈发的“数学逆袭”类内容——比如你从不会到秒解数列题，配个图：“原来我卡住的不是脑子，是没懂不动点！”
💡小贴士：不动点法本质是“坐标系平移”——把不动点当成原点，世界瞬间变简单。学完你会爱上这种“化繁为简”的数学美感。
下次再看到类似 $ a_{n+1} = \frac{ka_n + b}{c a_n + d} $ 的题，别慌，先找不动点！这才是高手的隐藏技能～
