错位重排公式是什么？
你有没有遇到过这样的场景：一群人聚会，每人带了一份礼物，结果最后大家发现——自己拿到的不是自己的礼物！这听起来像玩笑，但其实背后藏着一个超有趣的数学问题：错位重排。
简单来说，错位重排（Derangement）是指：把n个元素重新排列，使得没有一个元素出现在它原来的位置上。比如，三个人A、B、C，原本各自坐在位置1、2、3，如果重新分配后，A不在1号位，B不在2号位，C不在3号位，这就叫一次“完美错位”。
那问题来了：n个元素有多少种这样的错位方式？这就是“错位重排公式”的核心答案了！
数学家们早就给出了这个神奇的公式： D(n) = n! × (1 1/1! + 1/2! 1/3! + ... + (1)^n / n!) 或者更简洁地写成： D(n) ≈ n! / e（e是自然对数的底，约等于2.718）
举个真实案例吧！我去年在小红书发过一个“抽盲盒换礼物”的活动，有5位朋友参加。他们每人准备一份礼物，然后随机抽取。我们想知道：没人抽到自己礼物的概率是多少？
根据公式，D(5) = 5! × (1 1/1! + 1/2! 1/3! + 1/4! 1/5!) = 120 × (1 1 + 0.5 0.1667 + 0.0417 0.0083) ≈ 120 × 0.3667 ≈ 44种错位方式。
总共有5! = 120种可能的分配方式，所以概率是 44/120 ≈ 36.7%。也就是说，接近1/3的概率，每个人都能拿到别人的礼物——既公平又有趣！
有趣的是，随着人数增加，这个概率会越来越稳定在 1/e ≈ 36.79%，不管你是10人还是100人，错位成功的概率几乎不变！是不是很神奇？
下次聚会玩“交换礼物”游戏时，不妨用这个公式算一算成功率，说不定还能当段子讲给朋友听呢～
✨错位重排不只是数学题，更是生活里的小惊喜：有时候，不按常理出牌，反而最让人开心。
